力学基础梳理

剪力图和弯矩图

• 定义使其作用的构件产生顺时针旋转的剪力为正。

• 定义使构件上部受到压缩的弯矩为正，正弯矩使构件产生向上凹的变形。

• 弯矩图正坐标向下

• 连接两个杆端的刚结点,若结点上无外力偶作用,则两个杆端的弯矩值相等,方向相反.

惯性矩

• $正交坐标系公式：I_{z}=\int_A y^{2} \, dA$

• $极惯性矩公式：I_{p}=\int_A \rho^{2} \, dA$

• $矩形截面惯性矩：I_{z}=\frac{bh^{3}}{12}$

• $圆形截面惯性矩：I_{z}=\frac{\pi}{12}R^{4}$

平均正应力

$$\sigma = \frac{P}{A}$$

• $\sigma$ 是被积函数上的点上的平均应力分布
• $P$ 是沿向内力的合力
• $A$ 是被积函数区域

平均剪应力

$$\tau_{avg} = \frac{V}{A}$$

• $τ_{avg}$ — 平均剪应力
• $V$ — 剪应力方向施加在截面上的剪力
• $A$ — 截面积

许用应力

• 所选的许用荷载要小于构件所能承受的极限荷载

• 目前设计中常用的一种方法是安全系数法(F.S.)

$$F.S. = \frac{F_{\text{fail}}}{F_{\text{allow}}}$$

• 任何截面的平均应力都不能超过

  安全系数$F.S.$ ×许用应力$σ_{allow}$ 或$τ_{allow}$

正应变

$$\varepsilon_{avg} = \frac{\Delta s' - \Delta s}{\Delta s}$$ $$\sigma = E \varepsilon$$

剪应变

$$\gamma_{nt}=\frac{\pi}{2}-\theta^{'}$$ $$τ = Gγ$$

泊松比

$$\nu=-\frac{\varepsilon_{lat}}{\varepsilon_{long}}$$ $$\nu=-\frac{\varepsilon_{横向}}{\varepsilon_{纵向}}$$

三个材料常数E, ν, 和 G关系如下

$$G=\frac{E}{2(1+\nu)}$$

轴向弹力变形

一般情形

$$\delta = \int_{0}^{L} \frac{P(x)}{A(x) E} \, dx$$

其中：

• $\delta$= 两点之间的相对位移
• L = 两点间的距离
• P(x) =与一端相距x处的截面轴力（内力）
• A(x) = 杆件的截面积，表示为 x 的函数
• E = 材料的弹性模量

等截面均质杆件

$$\delta = \frac{PL}{A E}$$

温度应力

由试验可知，长度为 的杆件其变形或长度变化量为

$$\delta_{T}=\alpha\Delta TL$$

• $\delta_{T}$=杆长改变量
• $\alpha$=线性膨胀系数。表示每摄氏度温度变化引起应变的量：1摄氏度 or 1/开尔文 or 1/华氏度
• $ \Delta T $= 杆件的温度变化量
• $L$= 初始杆长

弯曲正应力

直杆的纯弯曲变形

$$\varepsilon = -\frac{y}{c}\varepsilon_{max}$$

弯曲正应力公式

$$\sigma_{\text{max}} = -\frac{Mc}{I_z} \\ \sigma = - \frac{My}{I_z}$$

剪切公式

$$\tau = \frac{VS}{It}$$

其中：

• ( $\tau$ ) 代表剪应力。

• ( V ) 是剪力，即作用于横截面的力。

• ( S) 是静距，即到考虑点至剪切面积的重心的垂直距离与剪切面积的乘积。

  $$S = \int_{A'} y \, dA' = y' \bar{A'}$$

  A’是杆件横截面上距离中和轴为y’的横线以外的面积

  y’是A’面积的形心到中和轴的距离

• ( I ) 整个横截面对于中性轴的惯性矩

• ( t ) 是杆件在要求$\tau$ 的点处的横截面宽度

关于S的例子：

梁的变形

曲率

$$\kappa = \frac{M}{EI_z}$$

转角和挠度

$$\kappa=\frac{1}{\rho} = \frac{d\theta}{dx} = \frac{d^2 \nu}{dx^2}$$

从而推出

$$\theta = \frac{dv}{dx} = \int \frac{M(x)}{EI} \, dx + C$$ $$v = \iint \frac{M(x)}{EI} \, dx \, dx + Cx + D$$

叠加原理

叠加原理表明，将荷载分为几部分，先将各部分荷载分别作用在构件上，求出每部分载荷引起的应力或位移，将以上结果相加，即可得到总的应力或位移。

扭矩图

• 方向：右手定则，四手指沿着扭矩或转角的旋转方向握拳，若拇指指向纵轴的横截面向外，则扭矩为正；反之为负。

扭转公式

$$\tau = \frac{T \rho}{J}$$ $$\tau_{\text{max}} = \frac{T c}{J}$$

• $\tau$ 表示扭转应力。
• $\tau_{\text{max}}$ 表示杆上的最大扭转应力（也称为最大剪应力），发生在杆的最外围。
• $T$ 是作用在杆或轴上的扭矩，可由扭转引起的力矩表示。
• $\rho$ 是从杆的中心到考虑点的距离。
• $c$ 是杆的外径，即从杆的中心到杆的最外边缘的距离。
• $J$ 是杆截面的极惯性矩，它是截面对抗扭转的几何特性的度量。

扭转角

$$\phi = \int_{0}^{L} \frac{T(x)}{J(x)G(x)} \, dx$$

$\phi$ = 扭转角，单位为弧度

$T(x)$ = 在截面 $x$ 处梁或轴的扭矩，由扭转引起的力矩表示

$J(x)$ = 截面 $x$ 处的极惯性矩，对抗扭转的截面特性

$G$ = 剪切模量，描述材料抵抗剪切变形的能力

一般用

$$\phi=\frac{TL}{JG}$$

摩尔圆

圆的方程为

$$\left[ \sigma_{\theta} - \left( \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \right)^2 \right] + \tau_{\theta}^2 = \left( \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \right)^2 + \tau_{xy}^2$$

• 摩尔圆的应用
• 

压杆稳定

一般公式

欧拉临界载荷公式

欧拉临界载荷公式表示为：

$$P_{cr} = \frac{\pi^2 EI}{(KL)^2}$$

其中：

• $P_{cr}$ 是构件失稳前的临界轴向载荷。
• $E$ 是材料的弹性模量。
• $I$ 是截面的惯性矩。
• $L$ 是构件的长度。
• $K$ 是柱子长度系数，用于考虑边界条件对临界载荷的影响。
  • 两端铰接压杆：K=1
  • 一端固定一端自由压杆: K=2
  • 两端固定压杆：K=0.5
  • 一端铰接一端固定压杆:K=0.7

铰接理想压杆

$$\sigma_{cr} = \frac{\pi^2 E}{(L/r)^2}$$

其中：

• $\sigma_{cr}$ 是临界应力，屈曲失稳前的最大应力，也是理论应力。
• $E$ 是材料的弹性模量。
• $L$ 是杆件的长度。
• $r$ 是截面的最小回转半径。
• $L/r$ 是杆件的长度与最小回转半径的比值，也称为杆件的长细比。

虚功原理

$$\Delta = \sum \int \left( \frac{ \overline{M}M_P}{EI} + \frac{ \overline{F_N}F_{NP}}{EA} + \frac{k\overline{F_Q}F_{QP}}{GA} \right) \mathrm{d}s$$

图乘法